试题分析:(Ⅰ)根据定义法确定轨迹为抛物线,然后借助圆C被x轴截得弦长的最小值为1求解参数m的值;(Ⅱ)利用导数的几何意义求解抛物线的切线方程,然后将三角形面积进行表示,其底边用弦长公式进行表示,高用点到直线的距离进行表示,得到含有直线m的斜率k的等式. 试题解析:(Ⅰ)设圆C的圆心坐标为(x,y),则其半径r=. 依题意,r2-y2=1,即x2+(y-1)2-y2=1, 整理得曲线E的方程为x2=2y. …4分 (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=,y2=. 设直线m方程为y=kx+,代入曲线E方程,得 x2-2kx-1=0,则x1+x2=2k. …6分 对y=x2求导,得y¢=x. 于是过点A的切线为y=x1(x-x1)+,即y=x1x-. ① 由①同理得过点B的切线为y=x2x-. ② 设C(x0,y0),由①、②及直线m方程得 x0==k,y0=x1x0-=-. 8分 M为抛物线的焦点,y=-为抛物线的准线,由抛物线的定义,得 |AB|=y1++y2+=k(x1+x2)+2=2(k2+1). 点C到直线m的距离d==. 10分 所以△ABC的面积S=|AB|·d=(k2+1). 由已知(k2+1)=2,有且仅有k=±1. 故直线m的方程为y=±x+. 12分 |