(1)设圆心C(x0,y0),则x20=2py0,圆C的半径|CA|=,其方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2,令y=0,并将x20=2py0,代入,得x2-2x0x+x20-p2=0,解得xm=x0-p,xN=x0+p,∴|MN|=|xN-xM|=2p(定值) (2)∵m=|AM|=,n=|AN|=,∴m2+n2=4p2+2x20,m·n=,∴+==== =2≤2,当且仅当y0=p时等号成立,x0=±p,此时△MCN为等腰直角三角形,且∠MCN=90°,∴∠MAN=∠MCN=45°,故当θ=45°时,圆的方程为(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p2 |