设抛物线y2=2x，（1）设点A(23，0)，求抛物线上距A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2）设A（a，0）（a∈R），求在抛物线上一点到点A距离的最

题型：不详难度：来源：

设抛物线y²=2x，
（1）设点A(

2

3

，0)，求抛物线上距A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）设A（a，0）（a∈R），求在抛物线上一点到点A距离的最小值d，并写出函数式d=f（a）．

答案

（1）设点P（x，y）是抛物线y²=2x上任意一点，
∴|PA|2=(x-

2

3

)2+y2=x2-

4

3

x+

4

9

+2x=(x+

1

3

)2+

1

3

(x≥0)
当x=0时，|PA|小=

2

3

，此时P（0，0）．
（2）设P（x，y）为y²=2x上任意一点，
∴|PA|²=（x-a）²+y²=x²-2ax+a²+2x=[x-（a-1）]²+2a-1（x≥0）
①当a≥1时，x=a-1≥0，即a≥1处|PA|_小=

2a-1

②当a＜1时，x=0，|PA|_小=|a|
综上所述，d=

2a-1  (a≥1) |a|(a＜1)