Rt△ABC的三个顶点在给定的抛物线y2=2px（p＞0）上，斜边AB平行于y轴且|AB|＞4p，则AB边上的高|CD|=______．

题型：不详难度：来源：

Rt△ABC的三个顶点在给定的抛物线y²=2px（p＞0）上，斜边AB平行于y轴且|AB|＞4p，则AB边上的高|CD|=______．

答案

由题意可得：A，B，C均在抛物线y²=2px（p＞0）上，并且斜边AB平行于y轴，
所以A、B两点关于x轴对称，
设斜边AB交y轴于点E，并且设A（

b2

2p

，b），B（

b2

2p

，-b），C（

a2

2p

，a），E（

b2

2p

，0），
所以斜边上的高|CD|=

b2

2p

-

a2

2p

=

b2-a2

2p

．
因为△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
所以|CE|=b，
又由两点之间的距离公式可得：|CE|=

( a2 2p - b2 2p )2+a2

，
所以

( a2 2p - b2 2p )2+a2

=b，平方整理可得：(

b2-a2

2p

)2=b2-a2
所以得到

b2-a2

2p

=2p，即|CD|=2p．
故答案为：2p．