已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的中垂线恒过定点Q(6,0
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已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的中垂线恒过定点Q(6,0),求此抛物线的方程. |
答案
由抛物线的定义可得:|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=8 ∴x1+x2=8-p. ∵点Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上, ∴|QA|=|QB|即:(x1-6)2+y12=(x2-6)2+y22, 又∵y12=2px1,y22=2px2, ∴(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2, 整理得:(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ∵x1≠x2∴x1+x2-12+2p=0即:x1+x2=12-2p=8-p 解得:p=4, ∴抛物线的方程为y2=8x. |
举一反三
若A,B均在抛物线y2=-8x上,点O为坐标原点,且OA⊥OB,则直线AB一定会经过点______. |
已知:抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(3,1), (1)M为抛物线y2=4x上一动点,求|MP|+|MF|的最小值. (2)过点P作一条斜率等于2的直线交抛物线于A、B两点,求△AOB的面积. |
若抛物线y2=4x上一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5,则点M到x轴的距离为______. |
已知抛物线y2=4x与直线y=2x+b相交于A,B两点,|AB|=3. (1)求b的值; (2)设P 是x轴上的一点,当△PAB的面积为39时,求点P的坐标. |
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