已知抛物线y2=4x的焦点为F.(1)若直线l过点M(4,0),且F到直线l的距离为2,求直线l的方程;(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与X轴垂直,若线段

已知抛物线y2=4x的焦点为F.(1)若直线l过点M(4,0),且F到直线l的距离为2,求直线l的方程;(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与X轴垂直,若线段

题型:不详难度:来源:
已知抛物线y2=4x的焦点为F.
(1)若直线l过点M(4,0),且F到直线l的距离为2,求直线l的方程;
(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与X轴垂直,若线段AB中点的横坐标为2.求证:线段AB的垂直平分线恰过定点.
答案
(1)由已知,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),x=4不合题意,设直线l的方程为y=k(x-4)
∵F到直线l的距离为2,∴
|3k|


1+k2
=2
,∴k=±
2


5
5

∴直线l的方程为y═±
2


5
5
(x-4)
(2)证明:设A,B的坐标A(x1,y1),B(x2,y2),
∵AB不与x轴垂直,
∴设直线AB的方程为y=kx+b
代入抛物线方程,消元可得k2x2+(2bk-4)+b2=0
∴x1+x2=
4-2bk
k2

∵线段AB中点的横坐标为2
4-2bk
k2
=4
∴b=
2-2k2
k

∵线段AB中点的坐标为(2,2k+b)
∴AB的垂直平分线方程为:y-(2k+b)=-
1
k
(x-2)
∵b=
2-2k2
k

∴方程可化为x+4y-4=0,显然过定点(4,0)
∴线段AB的垂直平分线恰过定点
举一反三
抛物线y=-
1
6
x2
的焦点坐标为______.
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已知抛物线y2=12x上一点A的横坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为______.
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抛物线x2=ay的准线方程是y=2,则a=______.
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在平面直角坐标系xOy中,A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点,C为AB的中点.若抛物线y2=2px(p>0)过点C,则焦点F到直线AB的距离为______.
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已知抛物线x2=-2py(p>0)的焦点坐标为(0,-1),则p=______.
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