求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为4;(2)顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心,准线过双曲线的左顶点
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求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为4; (2)顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心,准线过双曲线的左顶点,且垂直于坐标轴. |
答案
解 (1)由抛物线的标准方程对应的图形易知:顶点到准线的距离为, 故=4,p=8. 因此,所求抛物线的标准方程为y2=±16x或x2=±16y. (2)双曲线方程16x2-9y2=144化为标准形式为-=1, 中心为原点,左顶点为(-3,0), 故抛物线顶点在原点,准线为x=-3. 由题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0), 可得=3, 故p=6. 因此,所求抛物线的标准方程为y2=12x. |
举一反三
抛物线y=-x2上的动点M到两定点F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为______. |
如图,已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°. (1)证明直线AB必过一定点; (2)求△AOB面积的最小值. |
过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为( )A.2 | B.2 | C.2 | D.2 | 已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1 | B.x=-1 | C.x=2 | D.x=-2 | 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向准线l作垂线,垂足分别为M1,N1,则∠M1FN1等于( )A.45° | B.60° | C.90° | D.120° |
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