(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点).点在椭
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(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点).点在椭
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
在平面直角坐标系
中,椭圆
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆
交于
两点(
不是椭圆
的顶点).点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴、
轴分别交于
两点.
(i)设直线
的斜率分别为
,证明存在常数
使得
,并求出
的值;
(ii)求
面积的最大值.
答案
(1)
.(2)(ⅰ)存在常数
使得结论成立.(ⅱ)
.
解析
试题分析:(1)首先由题意得到
,即
.
将
代入
可得
,
由
,可得
.
得解.
(2)(ⅰ)注意从确定
的表达式入手,探求使
成立的
.
设
,则
,
得到
,
根据直线BD的方程为
,
令
,得
,即
.得到
.
由
,作出结论.
(ⅱ)直线BD的方程
,
从确定
的面积表达式
入手,应用基本不等式得解.
试题解析:(1)由题意知
,可得
.
椭圆C的方程可化简为
.
将
代入可得
,
因此
,可得
.
因此
,
所以椭圆C的方程为
.
(2)(ⅰ)设
,则
,
因为直线AB的斜率
,
又
,所以直线AD的斜率
,
设直线AD的方程为
,
由题意知
,
由
,可得
.
所以
,
因此
,
由题意知,
所以
,
所以直线BD的方程为
,
令
,得
,即
.
可得
.
所以
,即
.
因此存在常数
使得结论成立.
(ⅱ)直线BD的方程
,
令
,得
,即
,
由(ⅰ)知
,
可得
的面积
,
因为
,当且仅当
时等号成立,
此时S取得最大值
,
所以
的面积的最大值为
.
举一反三
已知椭圆
经过点
,离心率为
,左右焦点分别为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线
与椭圆交于
两点,与以
为直径的圆交于
两点,且满足
,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且双曲线的离心率等于
,则该双曲线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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曲线C是平面内与两个定点F
1
(-1,0)和F
2
(1,0)的距离的积等于常数a
2
(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△F
1
PF
2
的面积不大于
a
2
.
其中,所有正确结论的序号是________.
题型:不详
难度:
|
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椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为
,右焦点F与点
的距离为2。
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率
的直线
使直线
与椭圆相交于不同的两点M,N满足
,若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
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如图,已知直线l与抛物线
相切于点P(2,1),且与
轴交于点A,定点B的坐标为(2,0) .
(1)若动点M满足
,求点M的轨迹C;
(2)若过点B的直线l(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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