已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线C的方程，（2）直线l与直线l，垂直且与曲线C交

题型：不详难度：来源：

已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线
（1）求曲线C的方程，
（2）直线l与直线l，垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．

答案

（1） ;（2）

解析

试题分析：（1）此题考察轨迹方程，考察代入法的习题，根据圆心到直线的距离等于半径，可以求出圆的半径，即知道圆的方程，设动点,,,利用公式 ，写出向量相等的坐标表示，利用,代入，得到关于的方程；
（2）利用直线方程与椭圆方程联立，和点到直线的距离公式，得出面积，并求出最大值.
（1）设动点，因为轴于，所以，
设圆的方程为，由题意得，   所以圆的程为.
由题意,，所以，
所以即
将代入圆,得动点的轨迹方程 
（2）由题意可设直线，设直线与椭圆交于，
联立方程得，
，解得， ，
又因为点到直线的距离， .（当且仅当即 时取到最大值）         面积的最大值为.