(14分)(2011•湖北)平面内与两定点A1(﹣a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是
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(14分)(2011•湖北)平面内与两定点A1(﹣a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系; (Ⅱ)当m=﹣1时,对应的曲线为C1;对给定的m∈(﹣1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2,设F1、F2是C2的两个焦点.试问:在C1上,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2.若存在,求tanF1NF2的值;若不存在,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)(Ⅱ)见解析 |
解析
试题分析:(Ⅰ)设动点为M,其坐标为(x,y),求出直线A1、MA2M的斜率,并且求出它们的积,即可求出点M轨迹方程,根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式,对m进行讨论,确定曲线的形状;(Ⅱ)由(I)知,当m=﹣1时,C1方程为x2+y2=a2,当m∈(﹣1,0)∪(0,+∞)时,C2的焦点分别为F1(﹣a,0),F2(a,0),假设在C1上存在点N(x0,y0)(y0≠0),使得△F1NF2的面积S=|m|a2,的充要条件为,求出点N的坐标,利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF1NF2的值. 解:(Ⅰ)设动点为M,其坐标为(x,y), 当x≠±a时,由条件可得, 即mx2﹣y2=ma2(x≠±a), 又A1(﹣a,0),A2(a,0)的坐标满足mx2﹣y2=ma2. 当m<﹣1时,曲线C的方程为,C是焦点在y轴上的椭圆; 当m=﹣1时,曲线C的方程为x2+y2=a2,C是圆心在原点的圆; 当﹣1<m<0时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆; 当m>0时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的双曲线; (Ⅱ)由(I)知,当m=﹣1时,C1方程为x2+y2=a2, 当m∈(﹣1,0)∪(0,+∞)时,C2的焦点分别为F1(﹣a,0),F2(a,0), 对于给定的m∈(﹣1,0)∪(0,+∞),C1上存在点N(x0,y0)(y0≠0),使得△F1NF2的面积S=|m|a2, 的充要条件为 由①得0<|y0|≤a,由②得|y0|=, 当0<≤a,即,或时, 存在点N,使S=|m|a2, 当,即,或时,不存在满足条件的点N. 当m∈[,0)∪(0,]时,由=(﹣a﹣x0,﹣y0),=(a﹣x0,﹣y0), 可得=x02﹣(1+m)a2+y02=﹣ma2. 令=r1,||=r2,∠F1NF2=θ, 则由=r1r2cosθ=﹣ma2,可得r1r2=, 从而s=r1r2sinθ==﹣,于是由S=|m|a2, 可得﹣=|m|a2,即tanθ=, 综上可得:当m∈[,0)时,在C1上存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2,且tanθ=2; 当m∈(0,]时,在C1上存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2,且tanθ=﹣2; 当时,不存在满足条件的点N. 点评:此题是个难题.考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想.其中问题(II)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. |
举一反三
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