试题分析:(1)求椭圆的标准方程 ,要找两个等式以确定 ,本题中有焦点为,说明 ,又有离心率,即 ,由此再加上 可得结论;(2)直线与圆锥曲线相交问题,又涉及到交点弦,因此我们都是把直线方程(或设出) 与椭圆方程联立方程组,然后消去 (有时也可消去 )得关于 (或 )的一元二次方程,再设交点为 坐标为 ,则可得 , ,(用 表示),同时这个方程中判别式 (直线与椭圆相交),可得出 的取值范围.由此可由公式![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214258-11805.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214258-48426.png) 是直线 的斜率 得出弦长,中点 横坐标为 ,进而可写出 的中垂线方程,与 相交的交点 的坐标可得,于是有![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214259-99154.png) ,这是关于 的一个函数,利用函数的知识或不等式的性质可求得最大值. 试题解析:(1)由已知椭圆的焦点在 轴上, , ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) , , 2分
椭圆 的方程为 4分 (2) ,消去 得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214301-88336.png)
直线 与椭圆有两个交点,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) ,可得 (*) 6分 设 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214302-21185.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) , ,弦长 , 8分
中点 , 设 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) , 11分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214305-89779.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214301-42798.png) ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214300-38264.png) 时, , 14分 (或:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025214306-24006.png)
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当且仅当 时成立, .(用其它解法相应给分) |