设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆.(1)求的值;(2)证明:圆与轴必有公共点
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设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆.(1)求的值;(2)证明:圆与轴必有公共点
题型:不详
难度:
来源:
设抛物线
的焦点为
,点
,线段
的中点在抛物线上. 设动直线
与抛物线相切于点
,且与抛物线的准线相交于点
,以
为直径的圆记为圆
.
(1)求
的值;
(2)证明:圆
与
轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点
,使得圆
恒过点
?若存在,求出
的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)
(2)见解析 (3)存在
解析
试题分析:
(1)判断抛物线的焦点位置,得到焦点坐标,利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.
(2)直线与抛物线相切,联立直线与抛物线,判别式为0即可得到k,m之间的关系,可以用k来替代m,得到P点的坐标,抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标,利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标,计算中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系(点线距离小于或者等于半径,即相交或者相切).
(3)由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示),根据抛物线对称性知点
在
轴上,设点
坐标为
,则M点需满足
,即向量内积为0,即可得到M点的坐标,M点的坐标如果为常数(不含k),即存在这样的定点,如若不然,则不存在.
试题解析:
(1)利用抛物线的定义得
,故线段
的中点的坐标为
,代入方程得
,解得
。 2分
(2)由(1)得抛物线的方程为
,从而抛物线的准线方程为
3分
由
得方程
,
由直线与抛物线相切,得
4分
且
,从而
,即
, 5分
由
,解得
, 6分
∴
的中点
的坐标为
圆心
到
轴距离
,
∵
所圆与
轴总有公共点. 8分
(或 由
,
,以线段
为直径的方程为:
令
得
,所圆与
轴总有公共点). 9分
(3)假设平面内存在定点
满足条件,由抛物线对称性知点
在
轴上,
设点
坐标为
, 10分
由(2)知
,
∴
。
由
得,
所以
,即
或
13分
所以平面上存在定点
,使得圆
恒过点
. 14分
证法二:由(2)知
,
,
的中点
的坐标为
所以圆
的方程为
11分
整理得
12分
上式对任意
均成立,
当且仅当
,解得
13分
所以平面上存在定点
,使得圆
恒过点
. 14分
举一反三
如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F
1
、F
2
,线段OF
1
、OF
2
的中点分别为B
1
、B
2
,且△AB
1
B
2
是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B
1
作直线交椭圆于P、Q两点,使PB
2
⊥QB
2
,求△PB
2
Q的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知F是椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆(x-
)
2
+y
2
=
相切于点Q,且
=2
,则椭圆C的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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椭圆E:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,焦距为2,过F
1
作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F
1
的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF
2
B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,
).过点P(1,1)分别作斜率为k
1
,k
2
的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k
1
;
(3)若k
1
+k
2
=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求
·
的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
题型:不详
难度:
|
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