解:(1)依题设c=1,且右焦点F′(1,0). 所以2a=|EF|+|EF′|=+ =2, b2=a2-c2=2, 故所求的椭圆的标准方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则+=1,① +=1.② ②-①,得+=0. 所以k1==-=-=-. (3)依题设,k1≠k2. 设M(xM,yM), 又直线AB的方程为y-1=k1(x-1), 即y=k1x+(1-k1), 亦即y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0. 于是,xM=,yM=, 同理,xN=,yN=. 当k1k2≠0时, 直线MN的斜率k== =. 直线MN的方程为y-=(x-), 即y=x+(·+), 亦即y=x-. 此时直线过定点(0,-). 当k1k2=0时,直线MN即为y轴, 此时亦过点(0,-). 综上,直线MN恒过定点,且坐标为(0,-). |