已知椭圆C:+=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1,F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C的标准方程及离

已知椭圆C:+=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1,F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C的标准方程及离

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:+=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1,F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.
答案
(1) +=1   e=   (2)     (,)
解析

解:(1)由题设得
解得a=2,b=,c=1.
故C的方程为+=1,离心率e=.
(2)直线F1A的方程为y=(x+1),
设点O关于直线F1A对称的点为M(x0,y0),

所以点M的坐标为(-,).
∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|,
|PF2|+|PO|的最小值为
|MF2|==.
直线MF2的方程为y=(x-1),
即y=-(x-1).

所以此时点P的坐标为(,).
举一反三
以下几个命题中:其中真命题的序号为_________________(写出所有真命题的序号)
①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;
③双曲线有相同的焦点;
④在平面内,到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆两点,当时求直线的方程
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已知点,直线上有两个动点,始终使,三角形的外心轨迹为曲线为曲线在一象限内的动点,设,则(    )
A.B.
C.D.

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已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点M(2,t)(t>0)在直线x=(a为长半轴,c为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值.
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已知椭圆C:=1(a>b>0),点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点,直线AB与圆G:x2+y2(c是椭圆的半焦距)相离,P是直线AB上一动点,过点P作圆G的两切线,切点分别为M、N.

(1)若椭圆C经过两点,求椭圆C的方程;
(2)当c为定值时,求证:直线MN经过一定点E,并求·的值(O是坐标原点);
(3)若存在点P使得△PMN为正三角形,试求椭圆离心率的取值范围..
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