已知常数,向量,经过定点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于,其中,(1)求点的轨迹的方程;(2)若,过的直线交曲线于两点,求的取值范围。
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已知常数,向量,经过定点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于,其中,(1)求点的轨迹的方程;(2)若,过的直线交曲线于两点,求的取值范围。
题型:不详
难度:
来源:
已知常数
,向量
,经过定点
以
为方向向量的直线与经过定点
以
为方向向量的直线相交于
,其中
,
(1)求点
的轨迹
的方程;(2)若
,过
的直线交曲线
于
两点,求
的取值范围。
答案
(I)
;(II)
解析
试题分析:(I)利用向量共线定理和坐标运算即可得出;
(II)对直线
的斜率分类讨论,当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为y=kx+1与双曲线的方程联立,即可得到根与系数的关系,再利用向量的数量积和对k分类讨论即可得出.
试题解析:(1)设
点的坐标为
,则
,
又
,
,
,
又因为向量
与向量
平行,所以
向量
与向量
平行,所以
,两式联立消去
得
的轨迹方程为
,即
。
(2)因为
,所以
的轨迹
的方程为
,
此时点
为双曲线的焦点。
(I)若直线的斜率不存在,其方程为
,
与双曲线
的两焦点为
,
此时
(II)若直线的斜率存在,设其方程为
,
由
,设交点为
,则
,
当
时,
,
;
当
或
时,
,
;
综上可知,
的取值范围是
。
举一反三
已知圆
的圆心在坐标原点O,且恰好与直线
相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点A为圆上一动点,AN
轴于N,若动点Q满足
(其中m为非零常数),试求动点
的轨迹方程
.
(3)在(2)的结论下,当
时,得到动点Q的轨迹曲线C,与
垂直的直线
与曲线C交于 B、D两点,求
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线
的焦点为
,点
,线段
的中点在抛物线上.设动直线
与抛物线相切于点
,且与抛物线的准线相交于点
,以
为直径的圆记为圆
.
(1)求
的值;
(2)试判断圆
与
轴的位置关系;
(3)在坐标平面上是否存在定点
,使得圆
恒过点
?若存在,求出
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线
的焦点为
,点
,线段
的中点在抛物线上. 设动直线
与抛物线相切于点
,且与抛物线的准线相交于点
,以
为直径的圆记为圆
.
(1)求
的值;
(2)证明:圆
与
轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点
,使得圆
恒过点
?若存在,求出
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F
1
、F
2
,线段OF
1
、OF
2
的中点分别为B
1
、B
2
,且△AB
1
B
2
是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B
1
作直线交椭圆于P、Q两点,使PB
2
⊥QB
2
,求△PB
2
Q的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知F是椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆(x-
)
2
+y
2
=
相切于点Q,且
=2
,则椭圆C的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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