已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上且过点P,离心率是.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l过点E (-1,0)且与椭圆C交于A,B两点,若|EA|=2|
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已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上且过点P,离心率是.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l过点E (-1,0)且与椭圆C交于A,B两点,若|EA|=2|
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C
的中心在坐标原点,焦点在
x
轴上且过点
P
,离心率是
.
(1)求椭圆
C
的标准方程;
(2)直线
l
过点
E
(-1,0)且与椭圆
C
交于
A
,
B
两点,若|
EA
|=2|
EB
|,求直线
l
的方程.
答案
(1)
+
y
2
=1(2)
x
+6
y
+
=0和
x
-6
y
+
=0.
解析
(1)设椭圆
C
的标准方程为
=1(
a
>
b
>0).由已知可得
,
解得
a
2
=4,
b
2
=1.
故椭圆
C
的标准方程为
+
y
2
=1.
(2)由已知,若直线
l
的斜率不存在,则过点
E
(-1,0)的直线
l
的方程为
x
=-1,此时令
A
,
B
,显然|
EA
|=2|
EB
|不成立.
若直线
l
的斜率存在,则设直线
l
的方程为
y
=
k
(
x
+1).则
,
整理得(4
k
2
+1)
x
2
+8
k
2
x
+4
k
2
-4=0.
由
Δ
=(8
k
2
)
2
-4(4
k
2
+1)(4
k
2
-4)=48
k
2
+16>0.
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
).
故
x
1
+
x
2
=-
,①
x
1
x
2
=
.②
因为|
EA
|=2|
EB
|,即
x
1
+2
x
2
=-3.③
①②③联立解得
k
=±
.
所以直线
l
的方程为
x
+6
y
+
=0和
x
-6
y
+
=0
举一反三
椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的左、右焦点分别是
F
1
、
F
2
,离心率为
,过
F
1
且垂直于
x
轴的直线被椭圆
C
截得的线段长为1.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)点
P
是椭圆
C
上除长轴端点外的任一点,过点
P
作斜率为
k
的直线
l
,使得
l
与椭圆
C
有且只有一个公共点.设直线
PF
1
,
PF
2
的斜率分别为
k
1
,
k
2
.若
k
≠0,试证明
+
为定值,并求出这个定值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
E
:
=1(
a
>
b
>0)的右焦点为
F
,过原点和
x
轴不重合的直线与椭圆
E
相交于
A
,
B
两点,且|
AF
|+|
BF
|=2
,|
AB
|的最小值为2.
(1)求椭圆
E
的方程;
(2)若圆
x
2
+
y
2
=
的切线
L
与椭圆
E
相交于
P
,
Q
两点,当
P
,
Q
两点横坐标不相等时,
OP
(
O
为坐标原点)与
OQ
是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设
A
,
B
分别是直线
y
=
x
和
y
=-
x
上的动点,且|
AB
|=
,设
O
为坐标原点,动点
P
满足
=
+
.
(1)求点
P
的轨迹方程;
(2)过点(
,0)作两条互相垂直的直线
l
1
,
l
2
,直线
l
1
,
l
2
与点
P
的轨迹的相交弦分别为
CD
,
EF
,设
CD
,
EF
的弦中点分别为
M
,
N
,求证:直线
MN
恒过一个定点.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为
和
,且|
|=2,
点(1,
)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过
的直线
与椭圆C相交于A,B两点,若
A
B的面积为
,求以
为圆心且与直线
相切圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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