设A,B分别是直线y=x和y=-x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足=+.(1)求点P的轨迹方程;(2)过点(,0)作两条互相垂直的直线l1,l
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设A,B分别是直线y=x和y=-x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足=+.(1)求点P的轨迹方程;(2)过点(,0)作两条互相垂直的直线l1,l
题型:不详
难度:
来源:
设
A
,
B
分别是直线
y
=
x
和
y
=-
x
上的动点,且|
AB
|=
,设
O
为坐标原点,动点
P
满足
=
+
.
(1)求点
P
的轨迹方程;
(2)过点(
,0)作两条互相垂直的直线
l
1
,
l
2
,直线
l
1
,
l
2
与点
P
的轨迹的相交弦分别为
CD
,
EF
,设
CD
,
EF
的弦中点分别为
M
,
N
,求证:直线
MN
恒过一个定点.
答案
(1)
+
y
2
=1(2)见解析
解析
(1)设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
P
(
x
,
y
),
∵
=
+
,∴
x
=
x
1
+
x
2
,
y
=
y
1
+
y
2
,
∵
y
1
=
x
1
,
y
2
=-
x
2
,
∴
x
=
x
1
+
x
2
=
(
y
1
-
y
2
),
y
=
y
1
+
y
2
=
(
x
1
-
x
2
).
∵|
AB
|=
=
,∴
x
2
+2
y
2
=2,
∴点
P
的轨迹方程为
+
y
2
=1.
(2)证明:设
C
(
x
1
,
y
1
),
D
(
x
2
,
y
2
),直线
l
1
的方程为
x
-
=
ky
.
由
,得(
k
2
+4)
y
2
+2
ky
-1=0,
∴
y
1
+
y
2
=-
,
x
1
+
x
2
=
.∴
M
点坐标为
,
同理可得
N
点坐标为
.
∴直线
MN
的斜率
k
MN
=
.
∴直线
MN
的方程为
y
+
=
.
整理化简得4
k
4
y
+(4
-5
x
)
k
3
+12
k
2
y
-16
y
+(-20
x
+16
)
k
=0,
∴
x
=
,
y
=0,∴直线
MN
恒过定点
举一反三
已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为
和
,且|
|=2,
点(1,
)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过
的直线
与椭圆C相交于A,B两点,若
A
B的面积为
,求以
为圆心且与直线
相切圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为
,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x
0
,y
0
)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在直角坐标系xOy中,点P
到抛物线C:y
2
=2px(p>0)的准线的距离为
.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x
2
=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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