解:(1)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为, ∴=,得c=1, ∴F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y. (2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2), 由x2=4y得y′=x, ∴切线PA:y-y1=x1(x-x1), 有y=x1x-+y1,而=4y1, 即切线PA:y=x1x-y1, 同理可得切线PB:y=x2x-y2. ∵两切线均过定点P(x0,y0), ∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2, 由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上, ∴直线AB的方程为y0=xx0-y, 即y=x0x-y0. (3)设点P的坐标为(x′,y′), 由x′-y′-2=0, 得x′=y′+2, 则|AF|·|BF|=· =· =· =(y1+1)·(y2+1) =y1y2+(y1+y2)+1. 由 得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0, 有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2, ∴|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1 =y′2+(y′+2)2-2y′+1 =22+, 当y′=-,x′=时, 即P时,|AF|·|BF|取得最小值. |