已知定点A(-2,0)和B(2,0),曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2.(1)求曲线E的方程;(2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值;
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已知定点A(-2,0)和B(2,0),曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2.(1)求曲线E的方程;(2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值;
题型:不详
难度:
来源:
已知定点A(-2,0)和B(2,0),曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2.
(1)求曲线E的方程;
(2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值;
(3)若直线l的方程为x=a(a≤
),延长PB与曲线E交于另一点Q,如果存在某一位置,使得从PQ的中点R向l作垂线,垂足为C,满足PC⊥QC,求a的取值范围。
答案
(1)x
2
-
=1(x>0) ;(2)|PQ|
min
=6;(3) a≤-1.
解析
试题分析:(1)由题意可知P点轨迹为双曲线,由a,c求出b的值,则方程可求;
(2)当直线斜率存在时,设出直线方程,和双曲线方程联立后求得判别式大于0,再由两根之和大于0,且两根之积大于0联立求得k的范围由弦长公式写出弦长,借助于k的范围求弦长的范围,当斜率不存在时直接求解;
(3)由题意,|CR|=
|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴,由|CR|=
-a=
-a
∴
-a=
·
,a=
=-1+
<-1,若直线PQ垂直于x轴,这时|PQ|=6,|CR|=2-a ∴a=-1, 综上a≤-1.
试题解析:解:(1)由双曲线的定义得:曲线E是以A, B为焦点的双曲线的右支,所以曲线E的方程为:x
2
-
=1(x>0) 2分
(2)若直线PQ不垂直于x轴,设直线PQ的方程为:y=k(x-2)
由
,得(3-k
2
)x
2
+4k
2
x-(4k
2
+3)=0 3分
设p(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),这里x
1
>0,x
2
>0
则:
得:k
2
>3 6分
|PQ|=
|x
1
-x
2
|=
=6+
>6 6分
若直线PQ垂直于x轴,则直线PQ的方程为x=2。 8分
这时P(2,3),Q(2,-3),所以|PQ|=6,
综上:|PQ|
min
=6 9分
(3)据题意得:|CR|=
|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴,
由|CR|=
-a=
-a 10分
∴
-a=
·
,a=
=-1+
<-1 12分
若直线PQ垂直于x轴,这时|PQ|=6,|CR|=2-a
∴a=-1. 13分
综上a≤-1. 14分
举一反三
设
,
分别是椭圆
:
的左、右焦点,过
作倾斜角为
的直线交椭圆
于
,
两点,
到直线
的距离为
,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形面积为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)已知点
,设
是椭圆
上的一点,过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求
的取值范围;
(3)作直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知点
在椭圆
:
上,以
为圆心的圆与
轴相切于椭圆的右焦点
,且
,其中
为坐标原点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)已知点
,设
是椭圆
上的一点,过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求直线
的方程;
(3)作直线
与椭圆
:
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
,直线
是直线上的线段,且
是椭圆上一点,求
面积的最小值。
题型:不详
难度:
|
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以椭圆
的一个顶点
为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形
,试问:(1)这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在,说明理由。(2)这样的等腰直角三角形若存在,最多有几个?
题型:不详
难度:
|
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已知常数
,向量
,经过定点
以
为方向向量的直线与经过定点
以
为方向向量的直线相交于
,其中
,
(1)求点
的轨迹
的方程;(2)若
,过
的直线交曲线
于
两点,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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