以椭圆的一个顶点为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形,试问:(1)这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在,说
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以椭圆的一个顶点为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形,试问:(1)这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在,说
题型:不详
难度:
来源:
以椭圆
的一个顶点
为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形
,试问:(1)这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在,说明理由。(2)这样的等腰直角三角形若存在,最多有几个?
答案
(1)存在,
与
;(2)存在,最多有
个.
解析
试题分析:(1)这样的等腰直角三角形存在.直线y=x+1与直线y=-x+1满足题意;
(2)设出CA所在的直线方程,代入椭圆的方程并整理,求出|CA|,同理求出|CB|,由|CA|=|CB|得(k-1)[k
2
-(a
2
-1)k+1]=0,讨论方程根的情况,即可得出结论.
试题解析:(1)这样的等腰直角三角形存在。因为直线
与直线
垂直,且关于
轴对称,所以直线
与直线
是一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。
(2)设
两点分别居于
轴的左,右两侧,设
的斜率为
,则
,
所在的直线方程为
,代入椭圆的方程并整理得
,
或
,
的横坐标为
,
,
同理可得
,所以由
得
,
,
当
时,(1)的解是
无实数解;
当
时,(1)的解是
的解也是
;当
时,(1)的解除
外,方程
有两个不相等的正根,且都不等于,故(1)有
个正根。
所以符合题意的等腰直角三角形一定存在,最多有
个。
举一反三
已知常数
,向量
,经过定点
以
为方向向量的直线与经过定点
以
为方向向量的直线相交于
,其中
,
(1)求点
的轨迹
的方程;(2)若
,过
的直线交曲线
于
两点,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知圆
的圆心在坐标原点O,且恰好与直线
相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点A为圆上一动点,AN
轴于N,若动点Q满足
(其中m为非零常数),试求动点
的轨迹方程
.
(3)在(2)的结论下,当
时,得到动点Q的轨迹曲线C,与
垂直的直线
与曲线C交于 B、D两点,求
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线
的焦点为
,点
,线段
的中点在抛物线上.设动直线
与抛物线相切于点
,且与抛物线的准线相交于点
,以
为直径的圆记为圆
.
(1)求
的值;
(2)试判断圆
与
轴的位置关系;
(3)在坐标平面上是否存在定点
,使得圆
恒过点
?若存在,求出
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线
的焦点为
,点
,线段
的中点在抛物线上. 设动直线
与抛物线相切于点
,且与抛物线的准线相交于点
,以
为直径的圆记为圆
.
(1)求
的值;
(2)证明:圆
与
轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点
,使得圆
恒过点
?若存在,求出
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F
1
、F
2
,线段OF
1
、OF
2
的中点分别为B
1
、B
2
,且△AB
1
B
2
是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B
1
作直线交椭圆于P、Q两点,使PB
2
⊥QB
2
,求△PB
2
Q的面积.
题型:不详
难度:
|
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