如图,椭圆过点P(1, ),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,M,N是直线x=4上的两个动点,且·=0.(1)求椭圆的方程;(2)求|MN|的最小值;(
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如图,椭圆过点P(1, ),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,M,N是直线x=4上的两个动点,且·=0.(1)求椭圆的方程;(2)求|MN|的最小值;(
题型:不详
难度:
来源:
如图,椭圆
过点P(1,
),其左、右焦点分别为F
1
,F
2
,离心率e=
,M,N是直线x=4上的两个动点,且
·
=0.
(1)求椭圆的方程;
(2)求|MN|的最小值;
(3)以MN为直径的圆C是否过定点?请证明你的结论。
答案
(1)
=1;(2)
;(3)(4-
,0)和(4+
,0) .
解析
试题分析:(1)因为:
,且过点P(1,
),列出关于a,b的方程,解得a,b.最后写出椭圆方程即可;(2)设点M(4,m),N(4,n)写出向量的坐标,利用向量的数量积得到mn=-15,又|MN|=|m-n|=|m|+|n|=|m|+
≥
,结合基本不等式即可求得MN的最小值;
(3)利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程,再令y=0,得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点.
试题解析:(1)由已知可得
∴椭圆的方程为
=1 4分
(2)设M(4,m),N(4,n),∵F
1
(-1,0),F
2
(1,0)
=(5,m),
=(3,n),由
=0
mn=-15<0 6分
∴|MN|=|m-n|=|m|+|n|=|m|+
≥2
∴|MN|的最小值为2
10分
(3)以MN为直径的圆C的方程为:(x-4)
2
+(y-
)=(
)
2
11分
令y=0得(x-4)
2
=
-
=-mn=15
x=4±
所以圆C过定点(4-
,0)和(4+
,0) 13分
举一反三
已知定点A(-2,0)和B(2,0),曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2.
(1)求曲线E的方程;
(2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值;
(3)若直线l的方程为x=a(a≤
),延长PB与曲线E交于另一点Q,如果存在某一位置,使得从PQ的中点R向l作垂线,垂足为C,满足PC⊥QC,求a的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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设
,
分别是椭圆
:
的左、右焦点,过
作倾斜角为
的直线交椭圆
于
,
两点,
到直线
的距离为
,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形面积为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)已知点
,设
是椭圆
上的一点,过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求
的取值范围;
(3)作直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知点
在椭圆
:
上,以
为圆心的圆与
轴相切于椭圆的右焦点
,且
,其中
为坐标原点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)已知点
,设
是椭圆
上的一点,过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求直线
的方程;
(3)作直线
与椭圆
:
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
,直线
是直线上的线段,且
是椭圆上一点,求
面积的最小值。
题型:不详
难度:
|
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以椭圆
的一个顶点
为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形
,试问:(1)这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在,说明理由。(2)这样的等腰直角三角形若存在,最多有几个?
题型:不详
难度:
|
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