如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
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如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值; (2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程. |
答案
(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4 |
解析
解:(1)由得x2-4x-4b=0.(*) 因为直线l与抛物线C相切, 所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0, 解得b=-1. (2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0, 解得x=2.将其代入x2=4y,得y=1. 故点A(2,1). 因为圆A与抛物线C的准线相切, 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离, 即r=|1-(-1)|=2, 所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. |
举一反三
如图,椭圆过点P(1, ),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,M,N是直线x=4上的两个动点,且·=0.
(1)求椭圆的方程; (2)求|MN|的最小值; (3)以MN为直径的圆C是否过定点?请证明你的结论。 |
已知定点A(-2,0)和B(2,0),曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2. (1)求曲线E的方程; (2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值; (3)若直线l的方程为x=a(a≤),延长PB与曲线E交于另一点Q,如果存在某一位置,使得从PQ的中点R向l作垂线,垂足为C,满足PC⊥QC,求a的取值范围。 |
设,分别是椭圆:的左、右焦点,过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为. (1)求椭圆的方程; (2)已知点,设是椭圆上的一点,过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围; (3)作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值. |
已知点在椭圆:上,以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点,且,其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点,设是椭圆上的一点,过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程; (3)作直线与椭圆:交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值. |
已知椭圆,直线是直线上的线段,且是椭圆上一点,求面积的最小值。 |
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