已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程;
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已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程;
题型:不详
难度:
来源:
已知直线
l
:
y
=
x
+
,圆
O
:
x
2
+
y
2
=5,椭圆
E
:
=1(
a
>
b
>0)的离心率
e
=
,直线
l
被圆
O
截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆
E
的方程;
(2)过圆
O
上任意一点
P
作椭圆
E
的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两条切线的斜率之积为定值.
答案
(1)
=1(2)两条切线的斜率之积为常数-1
解析
(1)设椭圆的半焦距为
c
,圆心
O
到直线
l
的距离
d
=
=
,∴
b
=
=
,
由题意,得
∴
a
2
=3,
b
2
=2.
∴椭圆
E
的方程为
=1.
(2)设点
P
(
x
0
,
y
0
),过点
P
的椭圆
E
的切线
l
0
的方程为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
),
联立直线
l
0
与椭圆
E
的方程,得
消去
y
,得(3+2
k
2
)
x
2
+4
k
(
y
0
-
kx
0
)
x
+2(
kx
0
-
y
0
)
2
-6=0,
∴
Δ
=[4
k
(
y
0
-
kx
0
)]
2
-4(3+2
k
2
)[2(
kx
0
-
y
0
)
2
-6]=0,整理,得(2-
x
)
k
2
+2
kx
0
y
0
-(
-3)=0,设满足题意的椭圆
E
的两条切线的斜率分别为
k
1
,
k
2
,
则
k
1
·
k
2
=-
.
∵点
P
在圆
O
上,∴
=5.
∴
k
1
·
k
2
=-
=-1.
∴两条切线的斜率之积为常数-1
举一反三
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,点A在椭圆C上,
·
=0,3|
|·|
|=-5
·
,|
|=2,过点F
2
且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)线段OF
2
(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0),使得
·
=
·
?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
为椭圆
的左右焦点,
是坐标原点,过
作垂直于
轴的直线
交椭圆于
,设
.
(1)证明:
成等比数列;
(2)若
的坐标为
,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的椭圆中,过
的直线
与椭圆
交于
、
两点,若
,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆
的右焦点为
,直线
与
轴交于点
,若
(其中
为坐标原点).
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
是椭圆
上的任意一点,
为圆
的任意一条直径(
、
为直径的两个端点),求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,椭圆
的左焦点为
,右焦点为
,过
的直线交椭圆于
两点,
的周长为8,且
面积最大时,
为正三角形.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设动直线
与椭圆
有且只有一个公共点
,且与直线
相交于点
,证明:点
在以
为直径的圆上.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆
的左、右焦点分别为
是
上的点
,
,则椭圆
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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