已知椭圆的离心率为,左右焦点分别为,且.(1)求椭圆C的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,且,求的面积.

已知椭圆的离心率为,左右焦点分别为,且.(1)求椭圆C的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,且,求的面积.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的离心率为,左右焦点分别为,且.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,且,求的面积.
答案
(1);(2)
解析

试题分析:(1)因为要求椭圆的方程,必须求出两个关于椭圆的三个基本量的等式,依题意可得,离心率,焦距的长即可求出相应的的大小,从而可求出椭圆的方程.
(2)要求三角形的面积通过求出弦长和焦点到直线的距离,从而根据三角形的面积可得三角形的面积.弦长公式的计算需要具备解方程的能力,应用韦达定理,弦长公式,化简等式的能力;运用点到直线的距离公式计算三角形的高.
试题解析:(1)由已知 ,所以 .
因为椭圆的离心率为,所以.
所以 . 所以
故椭圆C的方程为.
(2)若直线的方程为,则,不符合题意.
设直线的方程为
   消去y得
显然成立,设
 

.
由已知 ,解得.当 ,直线的方程为,即
到直线的距离.所以的面
.
的面积也等于.
综上,的面积等于.
举一反三
已知抛物线,点,过的直线交抛物线两点.
(1)若,抛物线的焦点与中点的连线垂直于轴,求直线的方程;
(2)设为小于零的常数,点关于轴的对称点为,求证:直线过定点
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设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为(    )
A.B.C.D.

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已知椭圆的离心率,右焦点为,方程的两个实根,则点(   )
A.必在圆B.必在圆
C.必在圆D.以上三种情况都有可能

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设椭圆过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)求过点且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.
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已知椭圆,左、右两个焦点分别为,上顶点为正三角形且周长为6,直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
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