试题分析:(1)由题意可得通过假设直线方程联立抛物线方程,消去y可得一个一元二次方程,通过韦达定理写出根与系数的关系.由中点的横坐标等于抛物线的焦点坐标的横坐标可解出直线的斜率k的值.即可求出直线方程. (2)由直线方程与抛物线的方程联立可得,关于点A,B的坐标关系,从而得到 的坐标,写出直线 B的方程.由于其中含有A,B的坐标值,通过整理成为 的形式即可知道,直线恒过定点. 试题解析:(1)解:由已知,抛物线 的焦点坐标为 . 设过点 的直线 的方程为 , 由 得 . 设 , ,则 . 因为 与 中点的连线垂直于 轴,所以 ,即 . 解得 , . 所以,直线 的方程为 . (2)证明:设直线 的方程为 . 由 得 , 则 ,且 ,即 ,且 .
. 因为 关于 轴对称,所以 ,直线 , 又 , ,所以 , 所以 . 因为 ,又 同号, , 所以 , 所以直线 的方程为 , 所以,直线 恒过定点 . |