试题分析:(1)由题意可得通过假设直线方程联立抛物线方程,消去y可得一个一元二次方程,通过韦达定理写出根与系数的关系.由中点的横坐标等于抛物线的焦点坐标的横坐标可解出直线的斜率k的值.即可求出直线方程. (2)由直线方程与抛物线的方程联立可得,关于点A,B的坐标关系,从而得到的坐标,写出直线B的方程.由于其中含有A,B的坐标值,通过整理成为的形式即可知道,直线恒过定点. 试题解析:(1)解:由已知,抛物线的焦点坐标为. 设过点的直线的方程为, 由 得. 设,,则. 因为与中点的连线垂直于轴,所以,即. 解得 ,. 所以,直线的方程为. (2)证明:设直线的方程为. 由 得, 则,且,即,且. . 因为关于轴对称,所以,直线, 又 ,,所以, 所以 . 因为 ,又同号,, 所以 , 所以直线的方程为, 所以,直线恒过定点. |