已知椭圆:的离心率为,右焦点为,右顶点在圆:上. (Ⅰ)求椭圆和圆的方程;(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于另一点,与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线,

已知椭圆:的离心率为,右焦点为,右顶点在圆:上. (Ⅰ)求椭圆和圆的方程;(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于另一点,与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线,

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的离心率为,右焦点为,右顶点在圆上.
(Ⅰ)求椭圆和圆的方程;
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于另一点,与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线,使点恰好为线段的中点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ);(Ⅱ)不存在
解析

试题分析:(Ⅰ)由圆方程可知圆心为,即,又因为离心率为,可得,根据椭圆中关系式,可求。椭圆方程即可求出。因为,则右顶点为,将其代入圆的方程可求半径。(Ⅱ)设出直线方程,然后和椭圆方程联立,消掉y(或x)得到关于x的一元二次方程。再根据韦达定理得出根与系数的关系。因为是其中一个交点,所以方程的一个根为2。用中点坐标公式求点的坐标,再将其代入圆方程。解出的值。若则说明存在满足条件的直线可求出其方程,若,则说明不存在满足条件的直线。法二:假设存在,由已知可得,因为点为线段的中点,所以,因为点在椭圆上可推导得,与矛盾,故假设不成立。
试题解析:(Ⅰ)由题意可得,                           1分
又由题意可得
所以,                                          2分
所以,                                  3分
所以椭圆的方程为.                        4分
所以椭圆的右顶点,                            5分
代入圆的方程,可得,
所以圆的方程为.                       6分
(Ⅱ)法1:
假设存在直线:满足条件,              7分
          8分
,则,                         9分
可得中点,                           11分
由点在圆上可得
化简整理得                                      13分
又因为
所以不存在满足条件的直线.                            14分
(Ⅱ)法2:
假设存在直线满足题意.
由(Ⅰ)可得是圆的直径,                          7分
所以.                                         8分
由点中点,可得.                   9分
设点,则由题意可得.                 10分
又因为直线的斜率不为0,所以,                  11分
所以,           13分
这与矛盾,所以不存在满足条件的直线.           14分
举一反三
已知坐标平面内.动点P与外切与内切.
(1)求动圆心P的轨迹的方程;
(2)若过D点的斜率为2的直线与曲线交于两点A、B,求AB的长;
(3)过D的动直线与曲线交于A、B两点,线段中点为M,求M的轨迹方程.
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已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点,若,则    .
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已知椭圆的一个焦点为,过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为为椭圆上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求四边形的面积的最大值和最小值.
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已知双曲线的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1、A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两个圆的位置关系为(   )
A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能

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如图,设F(-c,0)是椭圆的左焦点,直线l:x=-与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。
①证明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面积的最大值。
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