如图,设F(-c,0)是椭圆的左焦点,直线l:x=-与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过
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如图,设F(-c,0)是椭圆的左焦点,直线l:x=-与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过
题型:不详
难度:
来源:
如图,设F(-c,0)是椭圆
的左焦点,直线l:x=-
与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。
①证明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面积的最大值。
答案
(Ⅰ)椭圆的标准方程为
;(Ⅱ)①详见解析;②
.
解析
试题分析:(Ⅰ)求椭圆的标准方程,只需利用待定系数法来求,由
,知
,由
,得
,将
代入,可求出
的值,从而得
的值,由此能求出椭圆的标准方程.(Ⅱ)①证明:
,只需证明
即可,这是直线与二次曲线位置关系问题,可采用设而不求的方法,因此当
的斜率为0时,
,满足题意.当
的斜率不为0时,可设直线
的方程为
,代入椭圆方程得
,设出
,有根与系数关系,及斜率公式可得
,从而得到
.故恒有
;②求△ABF面积的最大值,由图可知
,由基本不等式,能求出三角形ABF面积的最大值.
试题解析:(Ⅰ)∵|MN|=8, ∴a=4, (1分)
又∵|PM|=2|MF|,∴e=
, (2分)
∴c=2,b
2
=a
2
-c
2
=12,
∴椭圆的标准方程为
(3分)
(Ⅱ)①证明:
当AB的斜率为0时,显然∠AFM=∠BFN=0,满足题意; (4分)
当AB的斜率不为0时,设AB的方程为x=my-8,
代入椭圆方程整理得(3m
2
+4)y
2
-48my+144=0. (5分)
△=576(m
2
-4), y
A
+y
B
=
, y
A
y
B
=
.
则
,
而2my
A
y
B
-6(y
A
+y
B
)=2m·
-6·
=0, (7分)
∴k
AF
+k
BF
=0,从而∠AFM=∠BFN.
综合可知:对于任意的割线PAB,恒有∠AFM=∠BFN. (8分)
②方法一:
S
△
ABF
=S
△
PBF
-S
△
PAF
(10分)
即S
△
ABF
=
, (12分)
当且仅当
,即m=±
时(此时适合于△>0的条件)取到等号。
∴△ABF面积的最大值是3
. (13分)
方法二:
点F到直线AB的距离
(10分)
, (12分)
当且仅当
,即m=±
时取等号。 (13分)
举一反三
已知椭圆C:
的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,直线
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k
1
,k
2
,且k
1
+k
2
=2,证明:直线AB过定点(―1,―1)
题型:不详
难度:
|
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给定椭圆C:
,若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点Q满足
且
=0,其中N为椭圆的下顶点,求直线在y轴上截距的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
的两个焦点是F
1
(
c,0),F
2
(c,0)(c>0)。
(I)若直线
与椭圆C有公共点,求
的取值范围;
(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点,求|EF
1
|+|EF
2
|取得最小值时,椭圆的方程;
(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A,B,点Q满足
且
,其中N为椭圆的下顶点,求直线l在y轴上截距的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
经过点
,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程:
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k
1
,k
2
,当k
1
·k
2
最大时,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线
交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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