已知椭圆C:的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,直线与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分
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已知椭圆C:的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,直线与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,直线
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k
1
,k
2
,且k
1
+k
2
=2,证明:直线AB过定点(―1,―1)
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)详见解析
解析
试题分析:(I)由等轴双曲线的离心率为
,可得椭圆的离心率
,因为直线
,与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切,利用点到直线的距离公式和直线与圆相切的性质可得,
,再利用
即可得出;(II)分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论,①不存在时比较简单;②斜率存在时,设直线AB的方程为
,由椭圆
与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系及斜率公式,再利用
即可证明
试题解析:(Ⅰ)由题意得
,
2分
即
,解得
4分
故椭圆C的方程为
5分
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设A
,则B
,由k
1
+k
2
=2得
,得
7分
当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b(
),
,
得
,
9分
即
由
,
11分
即
故直线AB过定点(―1,―1) 13分
举一反三
给定椭圆C:
,若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点Q满足
且
=0,其中N为椭圆的下顶点,求直线在y轴上截距的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
的两个焦点是F
1
(
c,0),F
2
(c,0)(c>0)。
(I)若直线
与椭圆C有公共点,求
的取值范围;
(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点,求|EF
1
|+|EF
2
|取得最小值时,椭圆的方程;
(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A,B,点Q满足
且
,其中N为椭圆的下顶点,求直线l在y轴上截距的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
经过点
,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程:
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k
1
,k
2
,当k
1
·k
2
最大时,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线
交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知圆
过定点
,圆心
在抛物线
上,
、
为圆
与
轴的交点.
(1)当圆心
是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长.
(2)当圆心
在抛物线上运动时,
是否为一定值?请证明你的结论.
(3)当圆心
在抛物线上运动时,记
,
,求
的最大值,并求出此时圆
的方程.
题型:不详
难度:
|
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