已知圆过定点,圆心在抛物线上,、为圆与轴的交点.(1)当圆心是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长.(2)当圆心在抛物线上运动时,是否为一定值?请证明你
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已知圆过定点,圆心在抛物线上,、为圆与轴的交点.(1)当圆心是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长.(2)当圆心在抛物线上运动时,是否为一定值?请证明你
题型:不详
难度:
来源:
已知圆
过定点
,圆心
在抛物线
上,
、
为圆
与
轴的交点.
(1)当圆心
是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长.
(2)当圆心
在抛物线上运动时,
是否为一定值?请证明你的结论.
(3)当圆心
在抛物线上运动时,记
,
,求
的最大值,并求出此时圆
的方程.
答案
(1)
;(2)是定值,为2;(3)
取得最大值
,此时圆
的方程为
.
解析
试题分析:(1)这是关于圆的基本计算问题,圆心是抛物线的顶点
,又圆过点
,可得圆半径为
,就得出了圆的方程,抛物线的准线为
,与圆相交弦长可用直角三角形法求解,弦心距,弦的一半,相应半径可构成一个直角三角形,应用勾股定理易得;(2)圆心在抛物线上运动,可设圆心坐标为
,与(1)同法可得弦长
,当然本题中弦在
轴上,故可在圆方程中令
,求出
,也即求出
为定值;(3)根据圆的性质,由(2)可得
两点的坐标为
,这样
就可用
来表示,可求得
,
时,有
,
时,利用基本不等式有
,从而
(当且仅当
,即
时等号成立),故所求最大值为
.
试题解析:(1)抛物线
的顶点为
,准线方程为
,圆的半径等于1,圆
的方程为
.弦长
4分
(2)设圆心
,则圆
的半径
,
圆
的方程是为:
6分
令
,得
,得
,
,
是定值. 8分
(3)由(2)知,不妨设
,
,
,
.
. 11分
当
时,
. 12分
当
时,
.
当且仅当
时,等号成立 14分
所以当
时,
取得最大值
,此时圆
的方程为
.
16分
举一反三
已知椭圆
,椭圆
以
的长轴为短轴,且与
有相同的离心率.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆
和
上,
,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线
:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
.
(1)求抛物线
的方程;
(2)当
的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(3)若直线
在
轴上的截距为
,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
(
)的右焦点为
,离心率为
.
(Ⅰ)若
,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆相交于
,
两点,
分别为线段
的中点. 若坐标原点
在以
为直径的圆上,且
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
与双曲线
有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线
于M、N两点,且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的左、右焦点分别为
,且
,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点.
(1)求椭圆方程;
(2)设椭圆与直线
相交于不同的两点M、N,又点
,当
时,求实数m的取值范围,
题型:不详
难度:
|
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