椭圆与双曲线有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线于M、N两点,且.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点
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椭圆与双曲线有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线于M、N两点,且.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点
题型:不详
难度:
来源:
椭圆
与双曲线
有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线
于M、N两点,且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
答案
(1)
;(2)
.证明见解析.
解析
试题分析:(1)设点
,
设直线
,代入
并整理得
利用
解得
,再由
求得
.
(2) 首先判断得出
.可通过证明
或
,达到目的.
设
,得到
,
且
将直线
的方程
代入椭圆的方程并整理得到
由
得证.
试题解析:(1)设点
,
设直线
,代入
并整理得
所以
2分
故有
解得
5分
又椭圆与双曲线有公共的焦点,故有
所以椭圆的方程为
. 7分
(2)
证明:设
,则
,
且
将直线
的方程
代入椭圆的方程并整理得
9分
由题意可知此方程必有一根
,
所以
12分
故有
, 即
13分
举一反三
已知椭圆
的左、右焦点分别为
,且
,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点.
(1)求椭圆方程;
(2)设椭圆与直线
相交于不同的两点M、N,又点
,当
时,求实数m的取值范围,
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于
、
两点,
为坐标原点,
的面积为
,则双曲线的离心率
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系
中,已知抛物线
,设点
,
,
为抛物线
上的动点(异于顶点),连结
并延长交抛物线
于点
,连结
、
并分别延长交抛物线
于点
、
,连结
,设
、
的斜率存在且分别为
、
.
(1)若
,
,
,求
;
(2)是否存在与
无关的常数
,是的
恒成立,若存在,请将
用
、
表示出来;若不存在请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知两点
,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为
.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆
(
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
题型:不详
难度:
|
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已知曲线
的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
,曲线
、
相交于
、
两点.(
)
(Ⅰ)求
、
两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线
与直线
(
为参数)分别相交于
两点,求线段
的长度.
题型:不详
难度:
|
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