已知双曲线C1:(a>0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1。(1)求证:C1,C2总有两个不同的交点;(2)问:是否存在过C2的焦

已知双曲线C1:(a>0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1。(1)求证:C1,C2总有两个不同的交点;(2)问:是否存在过C2的焦

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已知双曲线C1(a>0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1
(1)求证:C1,C2总有两个不同的交点;
(2)问:是否存在过C2的焦点F1的弦AB,使ΔAOB的面积有最大值或最小值?若存在,求直线AB的方程与SΔAOB的最值,若不存在,说明理由。
答案
(1)(因为x1≠0),所以C1,C2总有两个不同交点。
(2)存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a2
解析
(1)由双曲线方程得,所以F1(,0),抛物线焦点到准线的距离,抛物线:   ①
把①代入C1方程得:        ②
Δ=64a2>0,所以方程②必有两个不同实根,设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a2<0,所以②必有一个负根设为x1,把x1代入①得y2=,所以(因为x1≠0),所以C1,C2总有两个不同交点。
(2)设过F1(,0)的直线AB为my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0,因为Δ=48m2a2+48a2>0,设y1,y2分别为A,B的纵坐标,则y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2|•|OF1|=a•a•,当且仅当m=0时,SΔAOB的面积取最小值;当m→+∞时,SΔAOB→+∞,无最大值。所以存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a2
举一反三
设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且
(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;
(2)设是曲线C上的点,且成等差数列,当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时,求点B的坐标。
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在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x,y),且满足·=1.
(Ⅰ)求动点P所在曲线C的方程;
(Ⅱ)过点B作斜率为-的直线l交曲线C于M、N两点,且++=,试求△MNH的面积.
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设点F(0,),动圆P经过点F且和直线y=相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
⑴求曲线W的方程;⑵过点F作相互垂直的直线,分别交曲线W于A,B和C,D.①求四边形ABCD面积的最小值;②分别在A,B两点作曲线W的切线,这两条切线的交点记为Q,求证:QA⊥QB,且点Q在某一定直线上。
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已知向量动点到定直线的距离等于并且满足其中是坐标原点,是参数.
(1)求动点的轨迹方程,并判断曲线类型;
(2)当时,求的最大值和最小值;
(3)如果动点的轨迹是圆锥曲线,其离心率满足求实数的取值范围。
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轴上动点引抛物线的两条切线为切点.
(1)若切线的斜率分别为,求证: 为定值,并求出定值;
(2)求证:直线恒过定点,并求出定点坐标; 
(3)当最小时,求的值.
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