已知椭圆()的右焦点为,离心率为.(Ⅰ)若,求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于,两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.

已知椭圆()的右焦点为,离心率为.(Ⅰ)若,求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于,两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆)的右焦点为,离心率为.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.
答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析

试题分析:(Ⅰ)由已知椭圆的半焦距,又,根据离心率的定义得,则,所以,从而得出所求椭圆的方程为.
(2)根据题意可设点的坐标分别为,联立直线方程与椭圆方程,消去,则,因为原点在圆上,所以,根据三角形中位线性质可知四边形为矩形,所以,又,所以,因此,即,从而可整理得,又因为,所以,即,从而,所以,因此,解得.(如图所示)

试题解析:(Ⅰ)由题意得,得.                            2分
结合,解得.                         3分
所以,椭圆的方程为.                                4分
(Ⅱ)由 得.
.
所以,                               6分
依题意,
易知,四边形为平行四边形,
所以,                                              7分
因为
所以.        8分
,                                 9分
将其整理为 .               10分
因为,所以.          11分
所以,即.                     13分
举一反三
椭圆与双曲线有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线于M、N两点,且
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
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已知椭圆的左、右焦点分别为,且,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点.
(1)求椭圆方程;
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点M、N,又点,当时,求实数m的取值范围,
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已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点,的面积为,则双曲线的离心率(   )
A.B.C.D.

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如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线,设点为抛物线上的动点(异于顶点),连结并延长交抛物线于点,连结并分别延长交抛物线于点,连结,设的斜率存在且分别为.

(1)若,求
(2)是否存在与无关的常数,是的恒成立,若存在,请将表示出来;若不存在请说明理由.
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已知两点,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
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