试题分析:(I)利用椭圆的几何性质得 . (II)通过研究 时,可知 满足条件,若所求的定点M存在,则一定是P点. 证明 就是满足条件的定点. 将直线方程与椭圆方程联立并整理,应用韦达定理,将 用坐标表示,根据![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223139-84164.png) 得到使 的点. 试题解析:(I)由题意得 , 2分 解得 3分 椭圆的方程为 . 4分 (II)当 时,直线 与椭圆交于两点的坐标分别为 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223140-53655.png) 设y轴上一点 ,满足 , 即 , ∴ 解得 或 (舍), 则可知 满足条件,若所求的定点M存在,则一定是P点. 6分 下面证明 就是满足条件的定点. 设直线 交椭圆于点 , . 由题意联立方程 8分 由韦达定理得, 9分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223142-78171.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223143-36305.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223143-90478.png)
11分 ∴ ,即在y轴正半轴上存在定点 满足条件. 12分 解法2: 设y轴上一点 ,满足 , 即, 5分 设直线 交椭圆于点 , . 由题意联立方程 7分 由韦达定理得, 8分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223144-47057.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223144-44272.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223144-40049.png)
10分 整理得,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223145-49989.png) 由对任意k都成立,得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223145-13822.png) 且![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223145-44537.png) 解得 11分 所以存在点 满足 . 12分 |