如图,已知椭圆的方程为,双曲线的两条渐近线为、.过椭圆的右焦点作直线,使,又与交于点,设与椭圆的两个交点由上至下依次为、.(1)若与的夹角为,且双曲线的焦距为,
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如图,已知椭圆的方程为,双曲线的两条渐近线为、.过椭圆的右焦点作直线,使,又与交于点,设与椭圆的两个交点由上至下依次为、.(1)若与的夹角为,且双曲线的焦距为,
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知椭圆
的方程为
,双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆
的右焦点
作直线
,使
,又
与
交于点
,设
与椭圆
的两个交点由上至下依次为
、
.
(1)若
与
的夹角为
,且双曲线的焦距为
,求椭圆
的方程;
(2)求
的最大值.
答案
(1)
;(2)
.
解析
试题分析:(1)先确定双曲线的渐近线方程,根据条件两条渐近线的夹角为
,确定
与
的等量关系,再结合
的值,确定
与
的值,最终确定椭圆
的方程;(2)设点
的坐标为
,并设
得到
,利用向量的坐标运算得到
,
,再由点
在椭圆
上这一条件将点
的坐标代入椭圆方程,通过化简得到
与离心率
之间的关系式
,结合基本不等式得到
的最大值.
试题解析:(1)因为双曲线方程为
,
所以双曲线的渐近线方程为
.
因为两渐近线的夹角为
且
,所以
.
所以
,所以
.
因为
,所以
,
所以
,
.
所以椭圆
的方程为
;
(2)因为
,所以直线
与的方程为
,其中
.
因为直线
的方程为
,
联立直线
与
的方程解得点
.
设
,则
.
因为点
,设点
,则有
.
解得
,
.
因为点
在椭圆
上,
所以
.
即
.
等式两边同除以
得
,
,
所以
,
所以当
,即
时,
取得最大值
.
故
的最大值为
.
举一反三
已知抛物线
的焦点为
,准线为
,点
为抛物线C上的一点,且
的外接圆圆心到准线的距离为
.
(I)求抛物线C的方程;
(II)若圆F的方程为
,过点P作圆F的2条切线分别交
轴于点
,求
面积的最小值时
的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线
的焦点为F,过F的直线交抛物线于M、N两点,其准线
与x轴交于K点.
(1)求证:KF平分∠MKN;
(2)O为坐标原点,直线MO、NO分别交准线于点P、Q,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
的长轴为AB,过点B的直线
与
轴垂直,椭圆的离心率
,F为椭圆的左焦点,且
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)设P是此椭圆上异于A,B的任意一点,
轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线
于点
,
为
的中点,判定直线
与以
为直径的圆O位置关系。
题型:不详
难度:
|
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已知两点
及
,点
在以
、
为焦点的椭圆
上,且
、
、
构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)如图,动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点,点
是直线
上的两点,且
,
. 求四边形
面积
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知
中,点A、B的坐标分别为
,点C在x轴上方。
(1)若点C坐标为
,求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(2)过点P(m,0)作倾角为
的直线
交(1)中曲线于M、N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值。
题型:不详
难度:
|
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