如图,已知椭圆的方程为,双曲线的两条渐近线为、.过椭圆的右焦点作直线,使,又与交于点,设与椭圆的两个交点由上至下依次为、.(1)若与的夹角为,且双曲线的焦距为,

如图,已知椭圆的方程为,双曲线的两条渐近线为、.过椭圆的右焦点作直线,使,又与交于点,设与椭圆的两个交点由上至下依次为、.(1)若与的夹角为,且双曲线的焦距为,

题型:不详难度:来源:
如图,已知椭圆的方程为,双曲线的两条渐近线为.过椭圆的右焦点作直线,使,又交于点,设与椭圆的两个交点由上至下依次为.

(1)若的夹角为,且双曲线的焦距为,求椭圆的方程;
(2)求的最大值.
答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)先确定双曲线的渐近线方程,根据条件两条渐近线的夹角为,确定的等量关系,再结合的值,确定的值,最终确定椭圆的方程;(2)设点的坐标为,并设得到,利用向量的坐标运算得到,再由点在椭圆上这一条件将点的坐标代入椭圆方程,通过化简得到与离心率之间的关系式,结合基本不等式得到的最大值.
试题解析:(1)因为双曲线方程为
所以双曲线的渐近线方程为
因为两渐近线的夹角为,所以
所以,所以
 
因为,所以
所以
所以椭圆的方程为
(2)因为,所以直线与的方程为,其中.
因为直线的方程为
联立直线的方程解得点.
,则.
因为点,设点,则有
解得.
因为点在椭圆上,
所以

等式两边同除以
所以
 
所以当,即时,取得最大值
的最大值为.
举一反三
已知抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线C上的一点,且的外接圆圆心到准线的距离为

(I)求抛物线C的方程;
(II)若圆F的方程为,过点P作圆F的2条切线分别交轴于点,求面积的最小值时的值.
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如图,已知抛物线的焦点为F,过F的直线交抛物线于M、N两点,其准线与x轴交于K点.

(1)求证:KF平分∠MKN;
(2)O为坐标原点,直线MO、NO分别交准线于点P、Q,求的最小值.
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如图,已知椭圆的长轴为AB,过点B的直线
轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点,且

(1)求此椭圆的标准方程;
(2)设P是此椭圆上异于A,B的任意一点, 轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线于点,的中点,判定直线与以为直径的圆O位置关系。
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已知两点,点在以为焦点的椭圆上,且构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且. 求四边形面积的最大值.

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已知中,点A、B的坐标分别为,点C在x轴上方。
(1)若点C坐标为,求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(2)过点P(m,0)作倾角为的直线交(1)中曲线于M、N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值。
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