已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且,. 求四边形面积的
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已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且,. 求四边形面积的
题型:不详
难度:
来源:
已知两点
及
,点
在以
、
为焦点的椭圆
上,且
、
、
构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)如图,动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点,点
是直线
上的两点,且
,
. 求四边形
面积
的最大值.
答案
(1)
;(2)
解析
试题分析:(1)确定椭圆标准方程 ,先定位后定量.由等差中项得
,根据椭圆定义
,得
,又
,所以可求
,由椭圆焦点在
轴,写出椭圆方程;(2)将直线方程和椭圆方程联立,并利用
列方程,得
的等式
,求四边形
面积
的最大值,关键在于建立关于面积
的目标函数,然后确定函数的最大值即可,分
和
讨论,当
时,结合平面几何知识,得
(其中
表示两焦点到直线
的距离),再结合
得关于
的函数,并求其范围;当
时,该四边形是矩形,求其面积,从而确定
的范围,进而确定最大值.
试题解析:(1)依题意,设椭圆
的方程为
.
构成等差数列,
,
.
又
,
.
椭圆
的方程为
.
(2) 将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中,得
,由直线
与椭圆
仅有一个公共点知,
,化简得:
.
设
,
, (法一)当
时,设直线
的倾斜角为
,则
,
,
,
,
当
时,
,
,
.当
时,四边形
是矩形,
.所以四边形
面积
的最大值为
.
(法二)
,
.
.
四边形
的面积
,
.
当且仅当
时,
,故
.
所以四边形
的面积
的最大值为
.
举一反三
已知
中,点A、B的坐标分别为
,点C在x轴上方。
(1)若点C坐标为
,求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(2)过点P(m,0)作倾角为
的直线
交(1)中曲线于M、N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值。
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
,且经过点
,直线
交椭圆于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)若直线
不过点M,求证:直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形
题型:不详
难度:
|
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平面上动点
满足
,
,
,则一定有( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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定义:对于两个双曲线
,
,若
的实轴是
的虚轴,
的虚轴是
的实轴,则称
,
为共轭双曲线.现给出双曲线
和双曲线
,其离心率分别为
.
(1)写出
的渐近线方程(不用证明);
(2)试判断双曲线
和双曲线
是否为共轭双曲线?请加以证明.
(3)求值:
.
题型:不详
难度:
|
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已知圆锥曲线
的两个焦点坐标是
,且离心率为
;
(Ⅰ)求曲线
的方程;
(Ⅱ)设曲线
表示曲线
的
轴左边部分,若直线
与曲线
相交于
两点,求
的取值范围;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,如果
,且曲线
上存在点
,使
,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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