试题分析:本题主要考查抛物线、圆、直线的标准方程和几何性质,考查用代数法研究圆锥曲线的性质以及数形结合思想、分类讨论思想.第一问,根据圆与直线相切列出表达式;第二问,把证明角相等转化为证明两个斜率之间的关系;第三问,找直线上的点的坐标和直线的斜率,本问应用了数形结合思想. 试题解析:(1)设动圆圆心为,依题意得. 整理,得,所以轨迹的方程为.(2分) (2)由(1)得,即,则. 设点,由导数的几何意义知,直线的斜率为, 由题意知点,设点, 则, 即. 因为,, 由于,即, 所以.(6分) (3)由点到的距离等于,可知,
不妨设点在上方(如图),即,直线的方程为:. 由,解得点的坐标为, 所以, 由(2)知,同理可得, 所以的面积,解得. 当时,点的坐标为,, 直线的方程为,即. 当时,点的坐标为,, 直线的方程为,即. (12分) |