试题分析:(I)由题意知c=,4a=8,∴a=2,b=1 ∴椭圆的方程为。 (II)当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1) 由消去y得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 则由韦达定理得x1+x2=,x1x2= 则=(m-x1,-y1),=(m-x2,-y2) ∴·=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1) == 要使上式为定值须=4,解得m=,∴为定值 当直线l的斜率不存在时P(1,),Q(1,-)由E(,0)可得 =(,-), =(,)∴= 综上所述当时,为定值。 点评:难题,求椭圆的标准方程,主要运用了椭圆的几何性质,注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题(2)推理直线斜率的两种情况,易于出现遗漏现象。 |