试题分析:(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 (2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0), 由 得 又点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是 (3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1. 当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入, 解得B(,),C(-,-), 则,又点A到直线BC的距离d=, ∴△ABC的面积S△ABC= 于是S△ABC= 由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是 点评:第二问中求轨迹方程用到的是相关点法,即设出所求点坐标,转化到已知条件中的点然后代入已知椭圆方程;第三问需注意讨论直线斜率存在不存在两种情况,其中求最值用到了均值不等式,此题有一定的难度 |