如图,设抛物线方程为,为直线上任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.(1)求证:三点的横坐标成等差数列;(2)已知当点的坐标为时,.求此时抛物线的方程。

如图,设抛物线方程为,为直线上任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.(1)求证:三点的横坐标成等差数列;(2)已知当点的坐标为时,.求此时抛物线的方程。

题型:不详难度:来源:
如图,设抛物线方程为为直线上任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为

(1)求证:三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当点的坐标为时,.求此时抛物线的方程。
答案
(1)根据已知条件设出点A,B的坐标,,然后借助于抛物线的导数来得到斜率值.,进而解方程,得到证明。
(2)抛物线方程为
解析

试题分析:(1)证明:由题意设
,得,所以
因此直线的方程为
直线的方程为
所以,①  .②
由①减②得,因此,即
所以 三点的横坐标成等差数列.              6分
(2)由(1)知,当时,将其代入①、②并整理得:

所以是方程的两根,
因此
,所以
由弦长公式得
,所以
因此所求抛物线方程为.    12分
点评:解决的关键是利用直线与抛物线的相切得到切线的斜率,同时联立方程组求解弦长,属于中档题。
举一反三
直线经过的定点的坐标是      
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右顶点,且渐近线方程为,则双曲线方程为                  
题型:不详难度:| 查看答案
如果双曲线上一点P到它的右焦点距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是( )    
A.4B.12C.4或12D.不确定

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椭圆的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是   .
题型:不详难度:| 查看答案
已知为椭圆两个焦点,为椭圆上一点且,则      (       )
A.3B.9C.4D.5

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