(本大题满分14分)已知△的两个顶点的坐标分别是,,且所在直线的斜率之积等于.(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;(Ⅱ)当时,过点的直线交曲线于

(本大题满分14分)已知△的两个顶点的坐标分别是,,且所在直线的斜率之积等于.(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;(Ⅱ)当时,过点的直线交曲线于

题型:不详难度:来源:
(本大题满分14分)
已知△的两个顶点的坐标分别是,且所在直线的斜率之积等于
(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;
(Ⅱ)当时,过点的直线交曲线两点,设点关于轴的对称点为(不重合).求证直线轴的交点为定点,并求出该定点的坐标.
答案
(1) (1) 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点
(2) 直线过定点  
解析

试题分析:(Ⅰ)由题知: 
化简得:                  ……………………………2分
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点;
……………………………6分
(Ⅱ)设 
依题直线的斜率存在且不为零,则可设:
代入整理得
,               ………………………………9分
又因为不重合,则
的方程为 令

故直线过定点.                        ……………………………13分
解二:设
依题直线的斜率存在且不为零,可设:
代入整理得:
,,                ……………………………9分
的方程为  令

直线过定点                        ……………………………13分
点评:解决含参数的曲线方程的问题,主要是关注我们方程的特点来分类讨论得到,同时能结合设而不求的思想求解坐标,进而求解直线方程,属于中档题。
举一反三
椭圆的左右焦点为,弦过点,若△的内切圆周长为,点坐标分别为,则            
题型:不详难度:| 查看答案
已知点,点,直线都是圆的切线(点不在轴上)。
⑴求过点且焦点在轴上抛物线的标准方程;
⑵过点作直线与⑴中的抛物线相交于两点,问是否存在定点,使.为常数?若存在,求出点的坐标与常数;若不存在,请说明理由。
题型:不详难度:| 查看答案
已知的顶点分别为双曲线的左右焦点,顶点在双曲线上,则的值等于
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
在平面直角坐标系中,的两个顶点的坐标分别是(-1,0),(1,0),点的重心,轴上一点满足,且.
(1)求的顶点的轨迹的方程;
(2)不过点的直线与轨迹交于不同的两点,当时,求的关系,并证明直线过定点.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,过点作圆的割线与切线为切点,连接的平分线与分别交于点,若,则          ;  
题型:不详难度:| 查看答案
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