(本小题满分12分)已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线对称.(1)求双曲线
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(本小题满分12分)已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线对称.(1)求双曲线
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
已知焦点在
轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点
为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线
对称.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线
与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线
经过M(-2,0)及AB的中点,求直线
在
轴上的截距b的取值范围.
答案
(1)
;(2)
.
解析
试题分析:(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0
∵该直线与圆
相切,∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.
故设双曲线C的方程为
.
又双曲线C的一个焦点为
,∴
,
.
∴双曲线C的方程为:
.
(2)由
得
.令
∵直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在
上有两个不等实根.
因此
,解得
又AB中点为
,∴直线l的方程为:
. 令x=0,得
.∵
,∴
,∴
.
点评:研究直线与双曲线的综合问题,通常的思路是:转化为研究方程组的解的问题,利用直线方程与双曲线方程所组成的方程组消去一个变量后,将交点问题(包括公共点个数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题,结合根与系数的关系及判别式解决问题。
举一反三
双曲线两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为 ( )
A.2
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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经过点P(4,-2)的抛物线标准方程为( )
A.y
2
=x或x
2
=-8y
B.y
2
=x或y
2
=8x
C.y
2
=-8x
D.x
2
=-8y
题型:不详
难度:
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椭圆
的焦点在
轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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A(2,3),F为抛物线y
2
=6x焦点,P为抛物线上动点,则|PF|+|PA|的最小值为( )
A.5
B.4.5
C.3.5
D.不能确定
题型:不详
难度:
|
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设P为椭圆
上的一点,
、
为该椭圆的两个焦点,若
,则
的面积等于( )
A.3
B.
C.2
D.2
题型:不详
难度:
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