在平面直角坐标系中,已知直线l:y=-1,定点F(0,1),过平面内动点P作PQ丄l于Q点,且•(I )求动点P的轨迹E的方程;(II)过点P作圆的两条切线,分
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在平面直角坐标系中,已知直线l:y=-1,定点F(0,1),过平面内动点P作PQ丄l于Q点,且•(I )求动点P的轨迹E的方程;(II)过点P作圆的两条切线,分
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系中,已知直线l:y=-1,定点F(0,1),过平面内动点P作PQ丄l于Q点,且
•
(I )求动点P的轨迹E的方程;
(II)过点P作圆
的两条切线,分别交x轴于点B、C,当点P的纵坐标y
0
>4时,试用y
0
表示线段BC的长,并求ΔPBC面积的最小值.
答案
(Ⅰ)
. (Ⅱ)
的最小值为32.
解析
(Ⅰ)设出点的坐标,根据条件列式化简即可;(Ⅱ)先求出切线方程,然后利用弦长公式求出三角形的底边,然后利用点到直线的距离求出高,进一步求出面积的最值
(Ⅰ)设
,则
,∵
,
∴
. …………………2分
即
,即
,
所以动点
的轨迹
的方程
. …………………………4分
(Ⅱ)解法一:设
,不妨设
.
直线
的方程:
,化简得
.
又圆心
到
的距离为2,
,
故
,易知
,上式化简得
, 同理有
. …………6分
所以
,
,…………………8分
则
.
因
是抛物线上的点,有
,
则
,
. ………………10分
所以
.
当
时,上式取等号,此时
.
因此
的最小值为32. ……………………12分
解法二:设
, 则
,
、
的斜率分别为
、
,
则
:
,令
得
,同理得
;
所以
,……………6分
下面求
,由
到
:
的距离为2,得
,
因为
,所以
,化简得
,
同理得
…………………8分
所以
、
是
的两个根.
所以
,
,
,……………10分
所以
.
当
时,上式取等号,此时
.
因此
的最小值为32.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,X轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C
1
的参数方程为:
(
为参数);射线C
2
的极坐标方程为:
,且射线C
2
与曲线C
1
的交点的横坐标为
(I )求曲线C
1
的普通方程;
(II)设A、B为曲线C
1
与y轴的两个交点,M为曲线C
1
上不同于A、B的任意一点,若直线AM与MB分别与x轴交于P,Q两点,求证|OP|.|OQ|为定值.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)已知椭圆
(
)的右焦点为
,离心率为
.
(Ⅰ)若
,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆相交于
,
两点,
分别为线段
的中点. 若坐标原点
在以
为直径的圆上,且
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点
沿与AB夹角为
的方向射到BC上的点
后,依次反射到CD、DA和AB上的点
、
和
(入射角等于反射角),设
坐标为(
),若
,则tan
的取值范围是( )
A.(
) B.(
) C.(
) D.(
)
题型:不详
难度:
|
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如图所示,直线
与双曲线C:
的渐近线交于
两点,记
,
.任取双曲线C上的点
,若
(
、
),则
、
满足的一个等式是
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
,
中,
,且
是函数
的一个极值点.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若点
的坐标为(1,
)(
,过函数
图像上的点
的切线始终与
平行(O 为原点),求证:当
时,不等式
对任意
都成立.
题型:不详
难度:
|
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