如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行
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如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行
题型:不详
难度:
来源:
如图,在平面直角坐标系
中,椭圆
的左、右焦点分别为
,
.已知
和
都在椭圆上,其中
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设
是椭圆上位于
轴上方的两点,且直线
与直线
平行,
与
交于点P.
(i)若
,求直线
的斜率;
(ii)求证:
是定值.
答案
见解析
【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。
解析
(1)根据椭圆的性质和已知
和
都在椭圆上列式求解。
(2)根据已知条件
,用待定系数法求解
解:(1)由题设知,
,由点
在椭圆上,得
,∴
。
由点
在椭圆上,得
∴椭圆的方程为
。
(2)由(1)得
,
,又∵
∥
,
∴设
、
的方程分别为
,
。
∴
。
∴
。①
同理,
。②
(i)由①②得,
。解
得
=2。
∵注意到
,∴
。
∴直线
的斜率为
。
(ii)证明:∵
∥
,∴
,即
。
∴
。
由点
在椭圆上知,
,∴
。
同理。
。
∴
由①②得,
,
,
∴
。
∴
是定值。
举一反三
设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G,若A(-1,0),B(1,0)且MG//AB.
(Ⅰ)求三角形ABC顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设顶点C的轨迹为D,已知直线
过点(0,1)并且与曲线D交于P、N两点,若O为坐标原点,满足OP⊥ON,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点,焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
,且经过点
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)是否存过点
(2,1)的直线
与椭圆
相交于不同的两点
,满足
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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、
是椭圆
的左、右焦点,
是该椭圆短轴的一个端点,直线
与椭圆
交于点
,若
成等差数列,则该椭圆的离心率为
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)如图,椭圆
的焦点在
轴上,左、右顶点分别为
、
,上顶点为
,抛物线
、
分别以
、
为焦点,其顶点均为坐标原点
,
与
相交于直线
上一点
.
(Ⅰ)求椭圆
及抛物线
、
的方程;
(Ⅱ)若动直线
与直线
垂直,且与椭圆
交于不同的两点
、
,已知点
,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知点
为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(I)求曲线
的方程;
(II)试证明:在
轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
题型:不详
难度:
|
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