分析:(1)根据,可得(x,y)与(-,0),(,0)的距离之和等于常数4,由椭圆的定义可知点M的轨迹,从而可得椭圆的方程; (2)直线y=x+t与M的轨迹方程联立,消去y,利用韦达定理及OA⊥OB,即可求得t的值。 解答: (1)∵ ∴(x,y)与(-,0),(,0)的距离之和等于常数4, 由椭圆的定义可知:此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=2,c=, ∴b=1,故椭圆的方程为:x2/4+y2=1; (2)直线y=x+t与M的轨迹方程联立,消去y可得5x2+8tx+4t2-4=0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8t/5,x1x2=(4t2-4)/5, ∴y1y2=(x1+t)(x2+t)=-4/5+1/5t2 ∵OA⊥OB ∴x1x2+y1y2=(4t2-4)/5-4/5+1/5t2=0 ∴ 点评:本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,求得椭圆的方程,正确运用韦达定理是关键。 |