解: (Ⅰ)设椭圆的焦距为,则由题设可知,解此方程组得 ,. 所以椭圆C的方程是. ………5分 (Ⅱ)解法一:假设存在点T(u, v). 若直线l的斜率存在,设其方程为, 将它代入椭圆方程,并整理,得. 设点A、B的坐标分别为,则 因为及 所以
……9分 当且仅当恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T, 所以解得 此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). ……11分 当直线l的斜率不存在,l与y轴重合,以AB为直径的圆为也过点T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1),满足条件. ……13分 解法二:若直线l与y轴重合,则以AB为直径的圆是 若直线l垂直于y轴,则以AB为直径的圆是 ……7分 由解得. 由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1). ……8分 事实上点T(0,1)就是所求的点. 证明如下: 当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为, 过点T(0,1); 当直线l的斜率存在,设直线方程为,代入椭圆方程,并整理,得 设点A、B的坐标为,则 ……10分 因为,
所以,即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件. ……13分 |