(本题满分14分)给定椭圆>>0,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”
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(本题满分14分)给定椭圆>>0,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分14分)给定椭圆
>
>0
,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“伴随圆”.若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(1)求椭圆
的方程及其“伴随圆”方程;
(2)若倾斜角为
的直线
与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆
的伴随圆相交于M、N两
点,求弦MN的长;
(3)点
是椭圆
的伴随圆上的一个动点,过点
作直线
,使得
与椭圆
都只有一个公共点,求证:
⊥
.
答案
解:(1)因为
,所以
,所以椭圆的方程为
,
伴随圆的方程为
. ……………………………… 4分
(2)设直线
的方程
,由
得
由
得
,圆心到直线
的距离为
所以
。 ……………………………… 8分
(3)①当
中有一条无斜率时,不妨设
无斜率,
因为
与椭圆只有一个公共点,则其方程为
或
,
当
方程为
时,此时
与伴随圆交于点
此时经过点
(或
且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是
(或
,即
为
(或
,显然直线
垂直;
同理可证
方程为
时,直线
垂直. ……………………………… 10分
②当
都有斜率时,设点
其中
,
设经过点
与椭圆只有一个公共点的直线为
,
由
,消去
得到
,
即
,
,
经过化简得到:
,
因为
,所以有
,
设
的斜率分别为
,因为
与椭圆都只有一个公共点,
所以
是关于
的方程:
的两个实数根,
因而
,即
⊥
. ……………………………… 14分
解析
略
举一反三
(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知
的顶点A在射线
上,
、
两点关于x轴对称,0为坐标原点,
且线段AB上有一点M满足
当点A在
上移动时,记点M的轨迹为W.
(Ⅰ)求轨迹W的方程;
(Ⅱ)设
是否存在过
的直线
与W相交于P,Q两点,使得
若存在,
求出直线
;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的对称轴为坐标轴,一个焦点为
,点
在椭圆
上
(Ⅰ)求椭圆
的谢方程
(Ⅱ)已知直线
:
与椭圆
交于
两点,求
的面积
(Ⅲ)设
为椭圆
上一点,若
,求
点的坐标
题型:不详
难度:
|
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设直线l与抛物线y
2
=2px(p>0)交于A、B两点,已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时,△OAB的面积为
(O为坐标原点).
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当直线l经过点P(a,0)(a>0)且与x
轴不垂直时,
若在x轴上存在
点C,使得△ABC为等边三角形,求a
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
xOy
中,已知点
A
(-1, 0)、
B
(1, 0), 动点
C
满足条件:△
ABC
的周长为
.记动点
C
的轨迹为曲线
W
.
(Ⅰ)求
W
的方程;
(Ⅱ)经过点(0,
)且斜率为
k
的直线
l
与曲线
W
有两个不同的交点
P
和
Q
,求
k
的取值范围;
(Ⅲ)已知点
M
(
),
N
(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数
k
,使得向量
与
共线?如果存在,求出
k
的值;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)椭圆
E
中心在原点
O
,焦点在
x
轴上,其离心率
e
=
,过点
C
(-1,0)的直线
l
与椭圆
E
相交于
A
、
B
两点,且
C
分有向线段
的比为2.
(1)用直线
l
的斜率
k
(
k
≠0)表示△
OAB
的面积;
(2)当△
OAB
的面积最大时,求椭圆
E
的方程.
题型:不详
难度:
|
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