(12分)已知点(x, y)是曲线C上任意一点,将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程;定点M(2,1),平行于OM的直线在y轴上的截

(12分)已知点(x, y)是曲线C上任意一点,将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程;定点M(2,1),平行于OM的直线在y轴上的截

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(12分)已知点(x, y)是曲线C上任意一点,将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程;定点M(2,1),平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程;
(2)求m的取值范围.
答案
(1)
(2)
解析
(1)在曲线上任取一个动点P(x,y),
则点(x,2y)在圆上.
所以有.  整理得曲线C的方程为. …
(2)∵直线平行于OM,且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.
  ,  得
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点,

解得.
∴m的取值范围是.
举一反三
(12分)我国计划发射火星探测器,该探测器的运行轨道是以火星(其半径百公里)的中心为一个焦点的椭圆. 如图,已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)到火星表面的距离为百公里,远火星点(轨道上离火星表面最远的点)到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百公里时进行变轨,其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里).
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已知动圆P过点且与直线相切.
(Ⅰ) 求动圆圆心P的轨迹E的方程;
(Ⅱ) 设直线与轨迹E交于点A、BM是线段AB的中点,过M轴的垂线交轨迹EN
① 证明:轨迹EN处的切线AB平行;
② 是否存在实数,使?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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在平面内,设到定点F(0,2)和轴距离之和为4的点P轨迹为曲线C,直线过点F,交曲线C于M,N两点。
(1)说明曲线C的形状,并画出图形;
(2)求线段MN长度的范围。
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设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点,则cos的值等于(    )
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(本小题满分13分)
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图6)在直线x=2的右侧,考察范围为到点B的距离不超过km区域;在直线x=2的左侧,考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域。
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程;
(Ⅱ)如图6所示,设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
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