如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的圆O交AC于D,过点D作圆O的切线交BC于E,AE交圆O于点F.求证:(1)E是BC的中点;(2)AD·AC=A
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如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的圆O交AC于D,过点D作圆O的切线交BC于E,AE交圆O于点F.求证:(1)E是BC的中点;(2)AD·AC=A
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如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的圆O交AC于D,过点D作圆O的切线交BC于E,AE交圆O于点F.求证:
(1)E是BC的中点;
(2)AD·AC=AE·AF.
答案
(1)见解析(2)见解析
解析
(1)连结BD,因为AB为圆O的直径,所以BD⊥AC.又∠B=90°,所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D,因此EB=ED,所以∠EBD=∠EDB,∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C,所以∠CDE=∠C,得ED=EC,因此EB=EC,即E是BC的中点.
(2)连结BF,显然BF是Rt△ABE斜边上的高,可得△ABE∽△AFB,于是有
,
即AB
2
=AE·AF,同理可得AB
2
=AD·AC,
所以AD·AC=AE·AF.
举一反三
如图,PA切圆O于点A,割线PBC交圆O于点B、C,∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E,求证:
(1)AD=AE;
(2)AD
2
=DB·EC.
题型:不详
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如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,求BC的值.
题型:不详
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如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,求DE的长.
题型:不详
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题型:不详
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如图,圆O与圆O′内切于点T,点P为外圆O上任意一点,PM与内圆O′切于点M.求证:PM∶PT为定值.
题型:不详
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