已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(1,22),且离心率为22,过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(1,22),且离心率为22,过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,


2
2
),且离心率为


2
2
,过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求
.
BM
.
BN
的取值范围.
答案
(Ⅰ)由椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,


2
2
),且离心率为


2
2

可得





e=
c
a
=


2
2
1
a2
+
1
2b2
=1
a2=b2+c2
,解得





a2=2
b=c=1

∴椭圆的方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)由题意可知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-2).
设M(x1,y1),N(x2,y2).由





y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
△=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,得0≤k2
1
2

x1+x2=
8k2
1+2k2
x1x2=
8k2-2
1+2k2



BM
=(x1-2,y1)


BN
=(x2-2,y2)



BM


BN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(1+k2)(x1-2)(x2-2)=(1+k2)[x1x2-2(x1+x2)+4]=(1+k2)
2
1+2k2
=1+
1
1+2k2

0≤k2
1
2
,∴
3
2
<1+
1
2k2
≤2

.
BM
.
BN
的取值范围是(
3
2
,2]
举一反三
若点(3,1)是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则p=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,椭圆C:x2+3y2=3b2(b>0).
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=


3
,求△AOB面积的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:x2+
y2
m
=1
的焦点在y轴上,且离心率为


3
2
.过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且满足


OA
+


OB


OP
(O为坐标原点),当|


PA
|-|


PB
|<


3
时,求实数λ的取值范围.
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设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(1,
3
2
),F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,且离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程.
(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN的斜率k1,k2满足k1+k2=-
1
2
,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
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