如图,椭圆C:x2+3y2=3b2(b>0).(1)求椭圆C的离心率;(2)若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3,求△AOB面积的最大值.

如图,椭圆C:x2+3y2=3b2(b>0).(1)求椭圆C的离心率;(2)若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3,求△AOB面积的最大值.

题型:不详难度:来源:
如图,椭圆C:x2+3y2=3b2(b>0).
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=


3
,求△AOB面积的最大值.
答案
(1)由x2+3y2=3b2
x2
3b2
+
y2
b2
=1

所以e=
c
a
=


3b2-b2


3b2
=


6
3

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),△ABO的面积为S.
如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(


3
2


3
2
),此时S=
1
2


3
2


3
=
3
4

如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,可得x2+3(kx+m) 2=3,
即(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,又△=36k2m2-4(1+3k2) (3m2-3)>0,
所以x1+x2=-
6km
1+3k2
,x1x2=
3m2-3
1+3k2

所以(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=
12(1+3k2-m2)
(1+3k2)2
,①
由|AB|=


1+k2
•|x1-x2|
及|AB|=


3
得(x1-x22=
3
1+k2
,②
结合①,②得m2=(1+3k2)-
(1+3k2)2
4(1+k2)

又原点O到直线AB的距离为
|m|


1+k2

所以S=
1
2
|m|


1+k2


3

因此S2=
3
4
m2
1+k2
=
3
16
1+3k2
1+k2
-2)2+
3
4
3
4

故S≤


3
2
,当且仅当
1+3k2
1+k2
=2,即k=±1时上式取等号.


3
2
3
4
,故Smax=


3
2

举一反三
已知椭圆C:x2+
y2
m
=1
的焦点在y轴上,且离心率为


3
2
.过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且满足


OA
+


OB


OP
(O为坐标原点),当|


PA
|-|


PB
|<


3
时,求实数λ的取值范围.
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设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(1,
3
2
),F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,且离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程.
(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN的斜率k1,k2满足k1+k2=-
1
2
,求直线l的方程.
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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
1
2
,一条准线方程为x=4.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M,设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证:k1k2为定值.
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过椭圆左焦点F,倾斜角为
π
3
的直线交椭圆于A,B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为______.
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已知抛物线y=-
x2
2
与过点M(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为原点.若OA和OB的斜率之和为1.
(1)求直线l的方程;
(2)求△AOB的面积.
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